Corso di laurea in Scienza dei Materiali
Corso di laurea in Scienza e Tecnologia dei Materiali

Acquisizione delle nozioni matematiche e fisiche indispensabili per lo studio dei sistemi quantistici.

Padronanza delle tecniche matematiche alla base della meccanica quantistica e capacita' di analizzare le caratteristiche dei sistemi quantistici.

Lezioni frontali, con svolgimento di esercizi e risoluzione di problemi.

La frequenza alle lezioni non è obbligatoria, ma e' fortemente consigliata.

L'esame è costituito da una prova scritta ed una orale.

Prova scritta

La prova scritta verte sul modulo di Metodi Matematici ed è costituita da 4 esercizi:

• un esercizio su studio di funzioni complesse, sviluppi in serie di potenze, residui;
• un esercizio sulle equazioni differenziali elementari;
• un esercizio sulle equazioni differenziali di Hermite, Legendre e Laguerre;
• un esercizio su serie e trasformate di Fourier.

L'ammissione alla prova orale è condizionata dal superamento della prova scritta che si consegue con un punteggio di almeno 17/30.

 

Prova orale

La prova orale verte sul modulo di Meccanica Quantistica, ma prevede anche una discussione preliminare della prova scritta sostenuta.

Entrambe le prove devono essere superate nella stessa sessione d'esame. Se uno studente sostiene più di una prova scritta nella stessa sessione, conta solo l'ultima prova consegnata.

 

MODULO DI METODI MATEMATICI

Analisi complessa

• Numeri complessi: rappresentazione cartesiana e polare, formula di Eulero; complesso coniugato; operazioni con i numeri complessi; proprietà dei numeri complessi.
• Esercizi con i numeri complessi.
• Funzioni in campo complesso: definizione di continuità.
• Funzioni derivabili nel campo complesso e funzioni analitiche: definizione; esempi; regole di derivazione.
• Curve in campo complesso: definizione; proprietà; esempi; integrale lungo una curva.
• Teorema di Cauchy: enunciato; esempi.
• Corollario al teorema di Cauchy: enunciato; dimostrazione.
• Teorema di Cauchy generalizzato: enunciato; dimostrazione.
• Esempio notevole: l'integrale di 1/(z-a)^n.
• Rappresentazione integrale di Cauchy: enunciato; dimostrazione.
• Rappresentazione integrale di Cauchy per le derivate: enunciato; dimostrazione.
• Richiami su sommatorie e serie di numeri.
• Serie di funzioni, convergenza puntuale e uniforme, regione di convergenza.
• Serie di potenze: cerchio di convergenza, calcolo del raggio di convergenza; esempi.
• Calcolo della somma della serie geometrica.
• Sviluppo in serie di Taylor: enunciato; dimostrazione; legame tra singolarità della funzione e raggio di converganze della serie di Taylor.
• Sviluppi notevoli in serie di Taylor.
• Serie di Laurent.
• Zeri, poli e singolarita' essenziali; esempi.
• Esercizi sugli studi di funzione e gli sviluppi in serie.
• Definizione di residuo.
• Teorema dei residui.
• Calcolo del residuo in un polo.
• Esercizi sullo studio di funzione e residui.

Equazioni differenziali

• Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
• Soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine omogenee.
• Soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine non omogenee; esempi.
• Equazioni del primo ordine a variabili separabili; esempi.
• Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee; esempi.
• Esercizi sulle equazioni differenziali elementari.
• Equazioni differenziali del second'ordine a coefficienti non costanti: classificazione delle singolarita', soluzione nell'intorno di un punto regolare; soluzione nell'intorno di un punto fuchsiano.
• Equazione differenziale del momento angolare: soluzione fisica.
• Equazione differenziale dell'oscillatore armonico: soluzione fisica.
• Equazione differenziale dell'atomo d'idrogeno: soluzione fisica.

Analisi di Fourier

• Sviluppi in serie di Fourier per funzioni di periodo 2*pi: definizione, esistenza e convergenza, proprieta'.
• Serie di Fourier per funzioni di periodo L qualunque.
• Esercizi sulle serie di Fourier.
• Trasformata di Fourier: definizione di trasformata ed antitrasformata di Fourier, esistenza, proprieta', equazione di Parseval.
• Significato della trasformata di Fourier.
• Esercizi sulla trasformata di Fourier: calcolo della trasformata di Fourier a gradino.
• Lemma di Jordan per le trasformate di Fourier.
• Esercizi su trasformata di Fourier: calcolo della trasformata di Fourier con il lemma di Jordan.
• Esercizi su trasformata di Fourier: calcolo della trasformata di Fourier gaussiana.

MODULO DI MECCANICA QUANTISTICA

Dall’elettromagnetismo all'equazione di Schrödinger

• Legame tra campo elettrico e numero di fotoni.
• Funzione d'onda di materia e probabilità di trovare le particelle di materia.
• Proprietà fisiche della funzione d'onda di materia.
• Onde elettromagnetiche: onda piana monocromatica come particella libera, operatore impulso e energia.
• Particelle di materia: particelle libere come onde di materia piane monocromatiche; equazione di Schrödinger per le particelle libere come equazione delle onde di materia.
• Equazione di Schrödinger di una particella sottoposta a potenziale.

Spazi funzionali

• Spazi vettoriali unitari: definizione, prodotto scalare, asi ortonormali; matrici colonna associate ai vettori, operatori lineari, matrici associate agli operatori, operatori hermitiani, autovalori e autovettori di un operatore; autovalori e autovettori di un operatore hermitiano.
• Spazio funzionale L^2(a,b): prodotto scalare in L^2(a,b), basi ortonormali e serie di Fourier.
• Operatori lineari in L^2(a,b): operatori moltiplicativi e differenziali; operatori hermitiani moltiplicativi e differenziali.
• Autovalori e autovettori in L^2(a,b): base di Fourier come base di autofunzioni.

Autovalori e autofunzioni in meccanica quantistica

• Richiami di calcolo delle probabilità: valor medio e deviazione standard di quantità definite in modo probabilistico.
• Valor medio e deviazione standard delle quantità fisiche.
• Autofunzioni come funzioni a deviazione standard nulla.
• Legame tra commutazione di operatori e autofunzioni di più operatori.
• Principio di indeterminazione. Indeterminazione della traiettoria delle particelle quantistiche.
• Equazione di Schrödinger stazionaria.

Problemi unidimensionali di meccanica quantistica

• Particella nella buca di potenziale unidimensionale: risoluzione dell'equazione di Schrödinger stazionaria; funzioni d'onda e livelli energetici.
• Effetto tunnel: risoluzione dell'equazione di Schrödinger stazionaria; funzioni d'onda e coefficiente di trasmissione per barriere alte e/e spesse; descrizione del microscopio a scansione a effetto tunnel.
• Oscillatore armonico: oscillatore armonico classico; dall'equazione di Schrödinger stazionaria all'equazione di Hermite; funzione d'onda e livelli energetici; confronto con il caso classico e con la buca di potenziale.

Atomo d'idrogeno

• Spettro dell’atomo d’idrogeno.
• L’atomo d’idrogeno nella trattazione di Ruhterford e di Bohr.
• Operatore momento angolare; operatore p^2 in coordinate polari e operatore L^2.
• Disaccoppiamento dell’equazione di Schrödinger.
• Soluzione dell'equazione agli autovalori di L_z; quantizzazione di L_z.
• Dall'equazione agli autovalori di L^2 all'equazione di Legendre; quantizzazione di L^2.
• Dall'equazione radiale all'equazione di Laguerre; funzione d'onda radiale e livelli energetici. Numeri quantici dell'atomo d'idrogeno.

Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo

• Generalità sulla teoria delle perturbazioni.
• Teoria delle perturbazioni di livelli energetici non degeneri: calcolo di autovalori e autofunzioni all'ordine 0; calcolo degli autovalori all'ordine 1.
• Teoria delle perturbazioni di livelli energetici degeneri: calcolo di autovalori e autofunzioni all'ordine 0; calcolo degli autovalori all'ordine 1.

Atomo di elio

• Impostazione dell'atomo di elio nella teoria delle perturbazioni.
• Autovalori all'ordine 0.
• Degenerazioni dell'ordine 0.
• Degenerazione di scambio.
• Sistemi di particelle identiche bosoniche e fermioniche.
• Principio di esclusione di Pauli.
• Autofunzioni all'ordine 0: esplicitazione della degenerazione di spin e degenerazione spaziale; stati di ortoelio e di paraelio; stato fondamentale dell'elio.
• Autovalori all'ordine 1 per l'ortoelio e il paraelio, parziale rottura della degenerazione di spin.

[1] Dispense fornite dai docenti.

- J. Bak, D. J. Newman "Complex analysis", Springer-Verlag;
- P. T. Matthews, "Introduzione alla Meccanica Quantistica", Zanichelli.
- P.W. Atkins, R. S. Friedman "Meccanica Quantistica Molecolare".
- L. Schiff, "Meccanica Quantistica", Edizioni Scientifiche Einaudi.