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Oggetto:
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Metodi Matematici e Meccanica Quantistica

Oggetto:

Mathematical Methods and Quantum Mechanics

Oggetto:

Anno accademico 2018/2019

Codice dell'attività didattica
CHI0118
Docente
Prof. Sandro Uccirati (Titolare del corso)
Corso di studi
Scienza e Tecnologia dei Materiali
Anno
2° anno
Tipologia
Affine o integrativo
Crediti/Valenza
8
SSD dell'attività didattica
FIS/02 - fisica teorica, modelli e metodi matematici
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Frequenza alle lezioni facoltativa. Frequenza al laboratorio obbligatoria
Tipologia d'esame
Scritto ed orale
Prerequisiti
Conoscenza del calcolo differenziale ed integrale.
Conoscenza della Fisica Classica (Meccanica ed Elettromagnetismo).
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Acquisizione delle nozioni matematiche e fisiche indispensabili per lo studio dei sistemi quantistici.

Knowledge of the mathematical and physical notions needed to study quantum systems.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Padronanza delle tecniche matematiche alla base della meccanica quantistica e capacita' di analizzare le caratteristiche dei sistemi quantistici.

Knowledge of mathematical techniques for quantum mechanics and ability to analyze the features of quantum systems.

Oggetto:

Modalità di insegnamento

Lezioni frontali, con svolgimento di esercizi e risoluzione di problemi.

La frequenza alle lezioni non è obbligatoria, ma e' fortemente consigliata.

The course consists of frontal lectures, with sessions of exercises and problems solving.

Attending the lessons is not compulsory, but strongly advised.

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame è costituito da una prova scritta ed una orale.

Prova scritta

La prova scritta verte sul modulo di Metodi Matematici ed è costituita da 4 esercizi:

  • un esercizio su studio di funzioni complesse, sviluppi in serie di potenze, residui;
  • un esercizio sulle equazioni differenziali elementari;
  • un esercizio sulle equazioni differenziali di Hermite, Legendre e Laguerre;
  • un esercizio su serie e trasformate di Fourier.

L'ammissione alla prova orale è condizionata dal superamento della prova scritta che si consegue con un punteggio di almeno 17/30.

 

Prova orale

La prova orale verte sul modulo di Meccanica Quantistica, ma prevede anche una discussione preliminare della prova scritta sostenuta.

Entrambe le prove devono essere superate nella stessa sessione d'esame. Se uno studente sostiene più di una prova scritta nella stessa sessione, conta solo l'ultima prova consegnata.

 

The exam has a written and an oral part.

Written exam

The written part consists in 4 exercises concerning the Mathematical Method section of the course:

  • an exercise on study of complex functions, power series expansions, residues;
  • an exercise on elementary differential equations;
  • an exercise on Hermite, Legendre and Laguerre differential equations;
  • an exercise on Fourier series and Fourier transform.

The student is admittend to the oral examination only if the grade of the written proof is at least 17/30.

 

Oral exam

The oral exam focuses on the Quantum Mechanics section, but also provides a preliminary discussion of the written test supported.

Both parts of the exam have to be done in the same session. If a student supports more than one written test in the same session, only the last test delivered counts.

Oggetto:

Programma

MODULO DI METODI MATEMATICI

Analisi complessa

  • Numeri complessi: rappresentazione cartesiana e polare, formula di Eulero; complesso coniugato; operazioni con i numeri complessi; proprietà dei numeri complessi.
  • Esercizi con i numeri complessi.
  • Funzioni in campo complesso: definizione di continuità.
  • Funzioni derivabili nel campo complesso e funzioni analitiche: definizione; esempi; regole di derivazione.
  • Curve in campo complesso: definizione; proprietà; esempi; integrale lungo una curva.
  • Teorema di Cauchy: enunciato; esempi.
  • Corollario al teorema di Cauchy: enunciato; dimostrazione.
  • Teorema di Cauchy generalizzato: enunciato; dimostrazione.
  • Esempio notevole: l'integrale di 1/(z-a)^n.
  • Rappresentazione integrale di Cauchy: enunciato; dimostrazione.
  • Rappresentazione integrale di Cauchy per le derivate: enunciato; dimostrazione.
  • Richiami su sommatorie e serie di numeri.
  • Serie di funzioni, convergenza puntuale e uniforme, regione di convergenza.
  • Serie di potenze: cerchio di convergenza, calcolo del raggio di convergenza; esempi.
  • Calcolo della somma della serie geometrica.
  • Sviluppo in serie di Taylor: enunciato; dimostrazione; legame tra singolarità della funzione e raggio di converganze della serie di Taylor.
  • Sviluppi notevoli in serie di Taylor.
  • Serie di Laurent.
  • Zeri, poli e singolarita' essenziali; esempi.
  • Esercizi sugli studi di funzione e gli sviluppi in serie.
  • Definizione di residuo.
  • Teorema dei residui.
  • Calcolo del residuo in un polo.
  • Esercizi sullo studio di funzione e residui.

Equazioni differenziali

  • Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
  • Soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine omogenee.
  • Soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine non omogenee; esempi.
  • Equazioni del primo ordine a variabili separabili; esempi.
  • Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee; esempi.
  • Esercizi sulle equazioni differenziali elementari.
  • Equazioni differenziali del second'ordine a coefficienti non costanti: classificazione delle singolarita', soluzione nell'intorno di un punto regolare; soluzione nell'intorno di un punto fuchsiano.
  • Equazione differenziale del momento angolare: soluzione fisica.
  • Equazione differenziale dell'oscillatore armonico: soluzione fisica.
  • Equazione differenziale dell'atomo d'idrogeno: soluzione fisica.

Analisi di Fourier

  • Sviluppi in serie di Fourier per funzioni di periodo 2*pi: definizione, esistenza e convergenza, proprieta'.
  • Serie di Fourier per funzioni di periodo L qualunque.
  • Esercizi sulle serie di Fourier
  • Trasformata di Fourier: definizione di trasformata ed antitrasformata di Fourier, esistenza, proprieta', equazione di Parseval.
  • Significato della trasformata di Fourier.
  • Esercizi sulla trasformata di Fourier: calcolo della trasformata di Fourier a gradino.
  • Lemma di Jordan per le trasformate di Fourier.
  • Esercizi su trasformata di Fourier: calcolo della trasformata di Fourier con il lemma di Jordan.
  • Esercizi su trasformata di Fourier: calcolo della trasformata di Fourier gaussiana.


MODULO DI MECCANICA QUANTISTICA

Crisi della fisica classica

  • Ripasso: equazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto; velocità delle onde elettromagnetiche; onde elettromagnetiche piane; ampiezza dell'onda, pulsazione, vettore d'onda, frequenza, lunghezza d'onda, direzione di propagazione, intensità dell'onda; cariche in moto accellerato come sorgenti delle onde elettromagnetiche; dipolo oscillante; formula di Larmor; forza di Lorentz.
  • Corpo nero: spettro di corpo nero, problemi della trattazione classica, trattazione di Planck del corpo nero ([2] 49-1, 49-2, 49-3).
  • Effetto fotoelettrico: esperimento di Mllikan, problemi della trattazione classica, trattazione di Einstein dell'effetto fotoelettrico ([2] 49-5, 49-6).
  • Ripasso: interferenza delle onde elettromagnetiche.
  • L'ipotesi di de Broglie ([2] 50-2).
  • Esperimento di Davisson-Germer ([2] 50-3).

Dall’elettromagnetismo all'equazione di Schrödinger

  • Legame tra campo elettrico e numero di fotoni.
  • Funzione d'onda di materia e probabilità di trovare le particelle di materia.
  • Proprietà fisiche della funzione d'onda di materia.
  • Onde elettromagnetiche: onda piana monocromatica come particella libera, operatore impulso e energia.
  • Particelle di materia: particelle libere come onde di materia piane monocromatiche; equazione di Schrödinger per le particelle libere come equazione delle onde di materia.
  • Equazione di Schrödinger di una particella sottoposta a potenziale.

Spazi funzionali

  • Spazi vettoriali unitari: definizione, prodotto scalare, asi ortonormali; matrici colonna associate ai vettori, operatori lineari, matrici associate agli operatori, operatori hermitiani, autovalori e autovettori di un operatore; autovalori e autovettori di un operatore hermitiano.
  • Spazio funzionale L^2(a,b): prodotto scalare in L^2(a,b), basi ortonormali e serie di Fourier.
  • Operatori lineari in L^2(a,b): operatori moltiplicativi e differenziali; operatori hermitiani moltiplicativi e differenziali.
  • Autovalori e autovettori in L^2(a,b): base di Fourier come base di autofunzioni.

Autovalori e autofunzioni in meccanica quantistica

  • Richiami di calcolo delle probabilità: valor medio e deviazione standard di quantità definite in modo probabilistico.
  • Valor medio e deviazione standard delle quantità fisiche.
  • Autofunzioni come funzioni a deviazione standard nulla.
  • Legame tra commutazione di operatori e autofunzioni di più operatori.
  • Principio di indeterminazione. Indeterminazione della traiettoria delle particelle quantistiche.
  • Equazione di Schrödinger stazionaria.

Problemi unidimensionali di meccanica quantistica

  • Particella nella buca di potenziale unidimensionale: risoluzione dell'equazione di Schrödinger stazionaria; funzioni d'onda e livelli energetici.
  • Effetto tunnel: risoluzione dell'equazione di Schrödinger stazionaria; funzioni d'onda e coefficiente di trasmissione per barriere alte e/e spesse; descrizione del microscopio a scansione a effetto tunnel.
  • Oscillatore armonico: oscillatore armonico classico; dall'equazione di Schrödinger stazionaria all'equazione di Hermite; funzione d'onda e livelli energetici; confronto con il caso classico e con la buca di potenziale.

Atomo d'idrogeno

  • Spettro dell’atomo d’idrogeno.
  • L’atomo d’idrogeno nella trattazione di Ruhterford e di Bohr.
  • Operatore momento angolare; operatore p^2 in coordinate polari e operatore L^2.
  • Disaccoppiamento dell’equazione di Schrödinger.
  • Soluzione dell'equazione agli autovalori di L_z; quantizzazione di L_z.
  • Dall'equazione agli autovalori di L^2 all'equazione di Legendre; quantizzazione di L^2.
  • Dall'equazione radiale all'equazione di Laguerre; funzione d'onda radiale e livelli energetici. Numeri quantici dell'atomo d'idrogeno.


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Testi consigliati e bibliografia

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[1] Dispense fornite dai docenti.
[2] Halliday-Resnick-Krane, Fisica 2, Casa Editrice Ambrosiana, 2002.

- J. Bak, D. J. Newman "Complex analysis", Springer-Verlag;
- P. T. Matthews, "Introduzione alla Meccanica Quantistica", Zanichelli.
- P.W. Atkins, R. S. Friedman "Meccanica Quantistica Molecolare".
- L. Schiff, "Meccanica Quantistica", Edizioni Scientifiche Einaudi.

[1] Lecture notes.
[2] Halliday-Resnick-Krane, Fisica 2, Casa Editrice Ambrosiana, 2002.

- J. Bak, D. J. Newman "Complex analysis", Springer-Verlag;
- P. T. Matthews, "Introduzione alla Meccanica Quantistica", Zanichelli.
- P.W. Atkins, R. S. Friedman "Meccanica Quantistica Molecolare".
- L. Schiff, "Meccanica Quantistica", Edizioni Scientifiche Einaudi.

 

 



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Ultimo aggiornamento: 08/02/2019 17:47