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Oggetto:
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Metodi Matematici e Meccanica Quantistica

Oggetto:

Mathematical Methods and Quantum Mechanics

Oggetto:

Anno accademico 2020/2021

Codice dell'attività didattica
CHI0118
Docente
Prof. Sandro Uccirati (Titolare del corso)
Corso di studi
Scienza e Tecnologia dei Materiali
Anno
2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
Affine o integrativo
Crediti/Valenza
8
SSD dell'attività didattica
FIS/02 - fisica teorica, modelli e metodi matematici
Modalità di erogazione
Mista
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto ed orale
Prerequisiti
Conoscenza del calcolo differenziale ed integrale.
Conoscenza della Fisica Classica (Meccanica ed Elettromagnetismo).
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Acquisizione delle nozioni matematiche e fisiche indispensabili per lo studio dei sistemi quantistici.

Knowledge of the mathematical and physical notions needed to study quantum systems.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Padronanza delle tecniche matematiche alla base della meccanica quantistica e capacita' di analizzare le caratteristiche dei sistemi quantistici.

Knowledge of mathematical techniques for quantum mechanics and ability to analyze the features of quantum systems.

Oggetto:

Modalità di insegnamento

Lezioni frontali, con svolgimento di esercizi e risoluzione di problemi.

La frequenza alle lezioni non è obbligatoria, ma e' fortemente consigliata.

E' prevista anche l'erogazione del corso in remoto

La registrazione delle lezioni saranno disponibili sulla pagina moodle del corso

The course consists of frontal lectures, with sessions of exercises and problems solving.

Attending the lessons is not compulsory, but strongly advised.

Lectures in remote will be available as well, whose registration can be found on moodle

 

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame è costituito da una prova scritta ed una orale, entrambi in presenza.

Nel caso non fosse possibile sostenere l'esame in presenza, si procederà ad effettuare esami da remoto, in cui i candidati dovranno sia risolvere esericizi analoghi a quelli di uno scritto, sia rispondere a domande analoghe a quelle di un'orale.

Prova scritta

La prova scritta (di 3 ore) verte sul modulo di Metodi Matematici ed è costituita da 4 esercizi:

  • un esercizio su autovalori e autovettori;
  • un esercizio sulle equazioni differenziali elementari;
  • un esercizio sulle equazioni differenziali di Hermite, Legendre e Laguerre;
  • un esercizio su serie di Fourier.

L'ammissione alla prova orale è condizionata dal superamento della prova scritta che si consegue con un punteggio di almeno 18/30.

 

Prova orale

La prova orale verte sul modulo di Meccanica Quantistica, ma prevede anche una discussione preliminare della prova scritta sostenuta.

Entrambe le prove devono essere superate nella stessa sessione d'esame. Se uno studente sostiene più di una prova scritta nella stessa sessione, conta la migliore.

 

The exam has a written and an oral part, both in classroom. In the case classroom exams are not possible, remote exams will be activated, in which students will be asked to solve exercises analogous to those of a written exam, and to answer questionsanalogous to those of an oral exam.

Written exam

The written part (of 3 hours) consists in 4 exercises concerning the Mathematical Method section of the course:

  • an exercise on eigenvalues and eigenvectors;
  • an exercise on elementary differential equations;
  • an exercise on Hermite, Legendre and Laguerre differential equations;
  • an exercise on Fourier series.

The student is admittend to the oral examination only if the grade of the written proof is at least 18/30.

 

Oral exam

The oral exam focuses on the Quantum Mechanics section, but also provides a preliminary discussion of the written test supported.

Both parts of the exam have to be done in the same session. If a student supports more than one written test in the same session, only the best test counts.

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Programma

MODULO DI METODI MATEMATICI

Numeri complessi

  • Definizione, rappresentazione cartesiana e polare, formula di Eulero; complesso coniugato
  • Operazioni con i numeri complessi; proprietà dei numeri complessi.
  • Esercizi con i numeri complessi.

Spazi vettoriali su C

  • Definizione, dipendenza lineare, basi, vettori colonna, esempi.
  • Operatori lineari, matrici associate agli operatori, esempi; autovalori e autovettori di un operatore, diagonalizzazione delle matrici, equazione secolare, autovalori degeneri e non degeneri, esempi.
  • Basi di autovettori, commutatore di due operatori, base comune di autovettori di due operatori.

Spazi vettoriali unitari su C

  • Definizione, prodotto scalare, normalizzazione, ortogonalità.
  • Basi ortonormali (ON), vettori riga, prodotto scalare e norma in una base ON, costruzione di basi ON, esempi; componenti di un vettore in una base ON.
  • Operatori in uno spazio unitario, aggiunto di un operatore, operatori hermitiani, esempi; autovalori e autovettori di un operatore hermitiano.
  • Esercizi su autovalori e autovettori.

Spazio funzionale L^2(a,b)

  • Definizione, L^2(a,b) come spazio vettoriale unitario, prodotto scalare in L^2(a,b); esempi.
  • Operatori lineari in L^2(a,b), operatori moltiplicativi e differenziali, autovalori e autovettori, aggiunto di un operatore; operatori hermitiani; commutazione in L^2(a,b).
  • Lo spazio L^2(a,b) con condizioni al contorno; esempio notevole: costruzione della base ON delle autofunzioni dell'operatore Q=- i*a*d/dx, condizione di quantizzazione su a; serie di Fourier. 

Analisi di Fourier

  • Serie di Fourier: definizione, proprietà, convergenza, esempio.
  • Serie trigonometrica di Fourier, esempio; serie trigonometriche di funzioni pari e dispari.
  • Esercizi sulla serie di Fourier.
  • Significato della serie di Fourier.
  • Trasformata di Fourier: definizione di trasformata ed antitrasformata; esistenza, esempi; convergenza dell'antitraformata; equazione di Parseval; trasformata della derivata, derivata della trasformata.

Equazioni differenziali

  • Generalità, esempi.
  • Equazioni differenziali lineari del primo ordine, soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine omogenee e non omogenee, esempi.
  • Equazioni del primo ordine a variabili separabili; esempi.
  • Esercizi sulle equazioni differenziali del primo ordine
  • Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: generalità e soluzione attraverso le soluzioni particolari.
  • Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee; esempi.
  • Equazioni differenziali lineari e condizioni al contorno, condizioni di quantizzazione.
  • Esercizi sulle equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti.

Equazioni differenziali della meccanica quantistica

  • Serie di funzioni, convergenza puntuale e uniforme.
  • Serie di potenze: cerchio di convergenza, calcolo del raggio di convergenza; esempi.
  • Soluzione di un'equazione differenziale come serie di potenze, procedimento nella ricerca della soluzione, ricerca di una soluzione polinomiale, condizioni di quantizzazione.
  • Soluzione polinomiale dell'equazione di Hermite.
  • Soluzione polinomiale dell'equazione differenziale del momento angolare.
  • Soluzione polinomiale dell'equazione differenziale dell'atomo d'idrogeno.


MODULO DI MECCANICA QUANTISTICA

Crisi della fisica classica

  • Ripasso: equazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto, velocità delle onde elettromagnetiche, vettore di Poynting, energia e quantità di moto trasportata dall'onda.
  • Ripasso: onda elettromagnetica piana monocromatica, ampiezza dell'onda, pulsazione, vettore d'onda, frequenza, lunghezza d'onda, direzione di propagazione, energia dell'onda; onda piana monocromatica in forma esponenziale.
  • Ripasso: cariche in moto accellerato come sorgenti delle onde elettromagnetiche; dipolo oscillante; formula di Larmor; forza di Lorentz.
  • Corpo nero: spettro di corpo nero, problemi della trattazione classica, trattazione di Planck del corpo nero ([2] 49-1, 49-2, 49-3).
  • Effetto fotoelettrico: esperimento di Mllikan, problemi della trattazione classica, trattazione di Einstein dell'effetto fotoelettrico ([2] 49-5, 49-6).
  • Ripasso: interferenza delle onde elettromagnetiche.
  • L'ipotesi di de Broglie ([2] 50-2).
  • Esperimento di Davisson-Germer ([2] 50-3).

Dall’elettromagnetismo all'equazione di Schrödinger

  • Le particelle della radiazione elettromagnetica: i fotoni.
  • Funzione d'onda di materia per un fascio di particelle.
  • Funzione d'onda di materia di particella singola.
  • Proprietà della funzione d'onda di materia.
  • Onda piana elettromagnetica come funzione d’onda di fotoni liberi.
  • Onda piana di materia e equazione di Schrödinger di particella libera.
  • Equazione di Schrödinger per particelle interagenti.

Operatori della meccanica quantistica

  • Esempi di operatori.
  • Valor medio e deviazione standard delle quantità fisiche.
  • Autofunzioni e autovalori degli opertori di quantità fisiche.
  • Commutazione di due operatori, commutatore dell'operatore quantità di moto e l'operatore posizione.
  • Determinazione simultanea di quantità fisiche e commutazione
  • Principio di indeterminazione di Heisenberg; relazione d’indeterminazione posizione - quantità di moto, indeterminazione della traiettoria delle particelle quantistiche.

Equazione di Schrödinger stazionaria.

Problemi unidimensionali di meccanica quantistica

  • Particella nella buca di potenziale infinita: risoluzione dell'equazione di Schrödinger stazionaria; funzioni d'onda e livelli energetici.
  • Effetto tunnel: risoluzione dell'equazione di Schrödinger stazionaria; funzioni d'onda e coefficiente di trasmissione per barriere alte e/o spesse; descrizione del microscopio a scansione a effetto tunnel ([2] 50-8).
  • Oscillatore armonico: oscillatore armonico classico; dall'equazione di Schrödinger stazionaria all'equazione di Hermite; funzione d'onda e livelli energetici; confronto con il caso classico e con la buca di potenziale.

Atomo d'idrogeno

  • Spettro dell’atomo d’idrogeno ([2] 51-1).
  • L’atomo d’idrogeno nella trattazione di Ruhterford e di Bohr.
  • Il potenziale di Coulomb, coordinate polari.
  • Il momento angolare, l'operatore p^2 in coordinate polari e l'operatore L^2.
  • Relazioni di commutazione di H, L^2, L_z.
  • Fattorizzazione delle autofunzioni di H, L^2, L_z.
  • Soluzione dell'equazione agli autovalori di L_z; quantizzazione di L_z.
  • Dall'equazione agli autovalori di L^2 all'equazione di Legendre; quantizzazione di L^2.
  • Dall'equazione radiale all'equazione associata di Laguerre; quantizzazione dell'energia E; funzione d'onda radiale e livelli energetici. Numeri quantici dell'atomo d'idrogeno.

Momento magnetico e spin dell'elettrone

  • Momento magnetico dell'atomo di idrogeno.
  • L'esperimento di Stern e Gerlach ([2] 51-4).
  • Lo spin dell'elettrone.


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Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

[1] Dispense fornite dai docenti.
[2] Halliday-Resnick-Krane, Fisica 2, Casa Editrice Ambrosiana, 2002.

- J. Bak, D. J. Newman "Complex analysis", Springer-Verlag;
- P. T. Matthews, "Introduzione alla Meccanica Quantistica", Zanichelli.
- P.W. Atkins, R. S. Friedman "Meccanica Quantistica Molecolare".
- L. Schiff, "Meccanica Quantistica", Edizioni Scientifiche Einaudi.

[1] Lecture notes.
[2] Halliday-Resnick-Krane, Fisica 2, Casa Editrice Ambrosiana, 2002.

- J. Bak, D. J. Newman "Complex analysis", Springer-Verlag;
- P. T. Matthews, "Introduzione alla Meccanica Quantistica", Zanichelli.
- P.W. Atkins, R. S. Friedman "Meccanica Quantistica Molecolare".
- L. Schiff, "Meccanica Quantistica", Edizioni Scientifiche Einaudi.

 

 



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Orario lezioni

Lezioni: dal 01/10/2020 al 22/01/2021

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Ultimo aggiornamento: 12/10/2020 16:00