Corso di laurea in Scienza dei Materiali
Corso di laurea in Scienza e Tecnologia dei Materiali

Acquisizione delle nozioni matematiche e fisiche indispensabili per lo studio dei sistemi quantistici.

Padronanza delle tecniche matematiche alla base della meccanica quantistica e capacita' di analizzare le caratteristiche dei sistemi quantistici.

Lezioni frontali, con svolgimento di esercizi e risoluzione di problemi.

La frequenza alle lezioni non è obbligatoria, ma e' fortemente consigliata.

E' prevista anche l'erogazione del corso in remoto

La registrazione delle lezioni saranno disponibili sulla pagina moodle del corso

L'esame è costituito da una prova scritta ed una orale, entrambi in presenza.

Nel caso non fosse possibile sostenere l'esame in presenza, si procederà ad effettuare esami da remoto, in cui i candidati dovranno sia risolvere esericizi analoghi a quelli di uno scritto, sia rispondere a domande analoghe a quelle di un'orale.

Prova scritta

La prova scritta (di 3 ore) verte sul modulo di Metodi Matematici ed è costituita da 4 esercizi:

• un esercizio su autovalori e autovettori;
• un esercizio sulle equazioni differenziali elementari;
• un esercizio sulle equazioni differenziali di Hermite, Legendre e Laguerre;
• un esercizio su serie di Fourier.

L'ammissione alla prova orale è condizionata dal superamento della prova scritta che si consegue con un punteggio di almeno 18/30.

 

Prova orale

La prova orale verte sul modulo di Meccanica Quantistica, ma prevede anche una discussione preliminare della prova scritta sostenuta.

Entrambe le prove devono essere superate nella stessa sessione d'esame. Se uno studente sostiene più di una prova scritta nella stessa sessione, conta la migliore.

 

MODULO DI METODI MATEMATICI

Numeri complessi

• Definizione, rappresentazione cartesiana e polare, formula di Eulero; complesso coniugato
• Operazioni con i numeri complessi; proprietà dei numeri complessi.
• Esercizi con i numeri complessi.

Spazi vettoriali su C

• Definizione, dipendenza lineare, basi, vettori colonna, esempi.
• Operatori lineari, matrici associate agli operatori, esempi; autovalori e autovettori di un operatore, diagonalizzazione delle matrici, equazione secolare, autovalori degeneri e non degeneri, esempi.
• Basi di autovettori, commutatore di due operatori, base comune di autovettori di due operatori.

Spazi vettoriali unitari su C

• Definizione, prodotto scalare, normalizzazione, ortogonalità.
• Basi ortonormali (ON), vettori riga, prodotto scalare e norma in una base ON, costruzione di basi ON, esempi; componenti di un vettore in una base ON.
• Operatori in uno spazio unitario, aggiunto di un operatore, operatori hermitiani, esempi; autovalori e autovettori di un operatore hermitiano.
• Esercizi su autovalori e autovettori.

Spazio funzionale L^2(a,b)

Analisi di Fourier

Equazioni differenziali

• Generalità, esempi.
• Equazioni differenziali lineari del primo ordine, soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine omogenee e non omogenee, esempi.
• Equazioni del primo ordine a variabili separabili; esempi.
• Esercizi sulle equazioni differenziali del primo ordine
• Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: generalità e soluzione attraverso le soluzioni particolari.
• Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee; esempi.
• Equazioni differenziali lineari e condizioni al contorno, condizioni di quantizzazione.
• Esercizi sulle equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti.

Equazioni differenziali della meccanica quantistica

• Serie di funzioni, convergenza puntuale e uniforme.
• Serie di potenze: cerchio di convergenza, calcolo del raggio di convergenza; esempi.
• Soluzione di un'equazione differenziale come serie di potenze, procedimento nella ricerca della soluzione, ricerca di una soluzione polinomiale, condizioni di quantizzazione.
• Soluzione polinomiale dell'equazione di Hermite.
• Soluzione polinomiale dell'equazione differenziale del momento angolare.
• Soluzione polinomiale dell'equazione differenziale dell'atomo d'idrogeno.

MODULO DI MECCANICA QUANTISTICA

Crisi della fisica classica

• Ripasso: equazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto, velocità delle onde elettromagnetiche, vettore di Poynting, energia e quantità di moto trasportata dall'onda.
• Ripasso: onda elettromagnetica piana monocromatica, ampiezza dell'onda, pulsazione, vettore d'onda, frequenza, lunghezza d'onda, direzione di propagazione, energia dell'onda; onda piana monocromatica in forma esponenziale.
• Ripasso: cariche in moto accellerato come sorgenti delle onde elettromagnetiche; dipolo oscillante; formula di Larmor; forza di Lorentz.
• Corpo nero: spettro di corpo nero, problemi della trattazione classica, trattazione di Planck del corpo nero ([2] 49-1, 49-2, 49-3).
• Effetto fotoelettrico: esperimento di Mllikan, problemi della trattazione classica, trattazione di Einstein dell'effetto fotoelettrico ([2] 49-5, 49-6).
• Ripasso: interferenza delle onde elettromagnetiche.
• L'ipotesi di de Broglie ([2] 50-2).
• Esperimento di Davisson-Germer ([2] 50-3).

Dall’elettromagnetismo all'equazione di Schrödinger

• Le particelle della radiazione elettromagnetica: i fotoni.
• Funzione d'onda di materia per un fascio di particelle.
• Funzione d'onda di materia di particella singola.
• Proprietà della funzione d'onda di materia.
• Onda piana elettromagnetica come funzione d’onda di fotoni liberi.
• Onda piana di materia e equazione di Schrödinger di particella libera.
• Equazione di Schrödinger per particelle interagenti.

Operatori della meccanica quantistica

• Esempi di operatori.
• Valor medio e deviazione standard delle quantità fisiche.
• Autofunzioni e autovalori degli opertori di quantità fisiche.
• Commutazione di due operatori, commutatore dell'operatore quantità di moto e l'operatore posizione.
• Determinazione simultanea di quantità fisiche e commutazione
• Principio di indeterminazione di Heisenberg; relazione d’indeterminazione posizione - quantità di moto, indeterminazione della traiettoria delle particelle quantistiche.

Equazione di Schrödinger stazionaria.

Problemi unidimensionali di meccanica quantistica

• Particella nella buca di potenziale infinita: risoluzione dell'equazione di Schrödinger stazionaria; funzioni d'onda e livelli energetici.
• Effetto tunnel: risoluzione dell'equazione di Schrödinger stazionaria; funzioni d'onda e coefficiente di trasmissione per barriere alte e/o spesse; descrizione del microscopio a scansione a effetto tunnel ([2] 50-8).
• Oscillatore armonico: oscillatore armonico classico; dall'equazione di Schrödinger stazionaria all'equazione di Hermite; funzione d'onda e livelli energetici; confronto con il caso classico e con la buca di potenziale.

Atomo d'idrogeno

• Spettro dell’atomo d’idrogeno ([2] 51-1).
• L’atomo d’idrogeno nella trattazione di Ruhterford e di Bohr.
• Il potenziale di Coulomb, coordinate polari.
• Il momento angolare, l'operatore p^2 in coordinate polari e l'operatore L^2.
• Relazioni di commutazione di H, L^2, L_z.
• Fattorizzazione delle autofunzioni di H, L^2, L_z.
• Soluzione dell'equazione agli autovalori di L_z; quantizzazione di L_z.
• Dall'equazione agli autovalori di L^2 all'equazione di Legendre; quantizzazione di L^2.
• Dall'equazione radiale all'equazione associata di Laguerre; quantizzazione dell'energia E; funzione d'onda radiale e livelli energetici. Numeri quantici dell'atomo d'idrogeno.

Momento magnetico e spin dell'elettrone

• Momento magnetico dell'atomo di idrogeno.
• L'esperimento di Stern e Gerlach ([2] 51-4).
• Lo spin dell'elettrone.

[1] Dispense fornite dai docenti.
[2] Halliday-Resnick-Krane, Fisica 2, Casa Editrice Ambrosiana, 2002.

- J. Bak, D. J. Newman "Complex analysis", Springer-Verlag;
- P. T. Matthews, "Introduzione alla Meccanica Quantistica", Zanichelli.
- P.W. Atkins, R. S. Friedman "Meccanica Quantistica Molecolare".
- L. Schiff, "Meccanica Quantistica", Edizioni Scientifiche Einaudi.