Metodi Matematici e Meccanica Quantistica

Oggetto:

Metodi Matematici e Meccanica Quantistica

Oggetto:

Mathematical Methods and Quantum Mechanics

Oggetto:

Anno accademico 2021/2022

Codice dell'attività didattica

CHI0118

Docente

Prof. Sandro Uccirati (Titolare del corso)

Corso di studi

Scienza e Tecnologia dei Materiali

Anno

2° anno

Periodo didattico

Primo semestre

Tipologia

Affine o integrativo

Crediti/Valenza

SSD dell'attività didattica

FIS/02 - fisica teorica, modelli e metodi matematici

Modalità di erogazione

Mista

Lingua di insegnamento

Italiano

Modalità di frequenza

Facoltativa

Tipologia d'esame

Scritto ed orale

Prerequisiti

Conoscenza del calcolo differenziale ed integrale.
Conoscenza della Fisica Classica (Meccanica ed Elettromagnetismo).

Oggetto:

Acquisizione delle nozioni matematiche e fisiche indispensabili per lo studio dei sistemi quantistici.

Knowledge of the mathematical and physical notions needed to study quantum systems.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Italiano
English

Padronanza delle tecniche matematiche alla base della meccanica quantistica e capacita' di analizzare le caratteristiche dei sistemi quantistici.

Knowledge of mathematical techniques for quantum mechanics and ability to analyze the features of quantum systems.

Oggetto:

Modalità di insegnamento

Italiano
English

Il corso consiste di 72 ore di lezioni frontali, con svolgimento di esercizi e risoluzione di problemi.

La frequenza alle lezioni non è obbligatoria, ma e' fortemente consigliata.

E' prevista anche l'erogazione del corso in remoto, senza registrazione delle lezioni.

Sono disponibili le registrazioni delle lezioni dello scorso anno in questa pagina web (sezione 'Materiale didattico', anno 2020/2021)

The course consists of 72 h of frontal lectures, with sessions of exercises and problems solving.

Attending the lessons is not compulsory, but strongly advised.

Lectures will be held also in streaming, without registration.

The registrations of the lessons of last year can be found at this webpage (see 'Teaching Material', section 2020/2021).

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

Italiano
English

L'esame è costituito da una prova scritta ed una orale, entrambi in presenza.

Nel caso non fosse possibile sostenere l'esame in presenza, si procederà ad effettuare esami da remoto, in cui i candidati dovranno sia risolvere esericizi analoghi a quelli di uno scritto, sia rispondere a domande analoghe a quelle di un'orale.

Prova scritta

La prova scritta (di 3 ore) verte sul modulo di Metodi Matematici ed è costituita da 4 esercizi:

un esercizio su autovalori e autovettori;
un esercizio sulle equazioni differenziali elementari;
un esercizio sulle equazioni differenziali di Hermite, Legendre e Laguerre;
un esercizio su serie di Fourier.

L'ammissione alla prova orale è condizionata dal superamento della prova scritta che si consegue con un punteggio di almeno 18/30.

Prova orale

La prova orale verte sul modulo di Meccanica Quantistica, ma prevede anche una discussione preliminare della prova scritta sostenuta.

Entrambe le prove devono essere superate nella stessa sessione d'esame. Se uno studente sostiene più di una prova scritta nella stessa sessione, conta la migliore.

The exam has a written and an oral part, both in classroom. In the case classroom exams are not possible, remote exams will be activated, in which students will be asked to solve exercises analogous to those of a written exam, and to answer questionsanalogous to those of an oral exam.

Written exam

The written part (of 3 hours) consists in 4 exercises concerning the Mathematical Method section of the course:

an exercise on eigenvalues and eigenvectors;
an exercise on elementary differential equations;
an exercise on Hermite, Legendre and Laguerre differential equations;
an exercise on Fourier series.

The student is admittend to the oral examination only if the grade of the written proof is at least 18/30.

Oral exam

The oral exam focuses on the Quantum Mechanics section, but also provides a preliminary discussion of the written test supported.

Both parts of the exam have to be done in the same session. If a student supports more than one written test in the same session, only the best test counts.

Oggetto:

Programma

Italiano
english

MODULO DI METODI MATEMATICI

Numeri complessi

Definizione, rappresentazione cartesiana e polare, formula di Eulero; complesso coniugato
Operazioni con i numeri complessi; proprietà dei numeri complessi.
Esercizi con i numeri complessi.

Spazi vettoriali su C

Definizione, dipendenza lineare, basi, vettori colonna, esempi.
Operatori lineari, matrici associate agli operatori, esempi; autovalori e autovettori di un operatore, diagonalizzazione delle matrici, equazione secolare, autovalori degeneri e non degeneri, esempi.
Basi di autovettori, commutatore di due operatori, base comune di autovettori di due operatori.

Spazi vettoriali unitari su C

Definizione, prodotto scalare, normalizzazione, ortogonalità.
Basi ortonormali (ON), vettori riga, prodotto scalare e norma in una base ON, costruzione di basi ON, esempi; componenti di un vettore in una base ON.
Operatori in uno spazio unitario, aggiunto di un operatore, operatori hermitiani, esempi; autovalori e autovettori di un operatore hermitiano.
Esercizi su autovalori e autovettori.

Spazio funzionale L^2(a,b)

Definizione, L^2(a,b) come spazio vettoriale unitario, prodotto scalare in L^2(a,b); esempi.
Operatori lineari in L^2(a,b), operatori moltiplicativi e differenziali, autovalori e autovettori, aggiunto di un operatore; operatori hermitiani; commutazione in L^2(a,b).
Lo spazio L^2(a,b) con condizioni al contorno; esempio notevole: costruzione della base ON delle autofunzioni dell'operatore Q=- i*a*d/dx, condizione di quantizzazione su a; serie di Fourier.

Analisi di Fourier

Serie di Fourier: definizione, proprietà, convergenza, esempio.
Serie trigonometrica di Fourier, esempio; serie trigonometriche di funzioni pari e dispari.
Esercizi sulla serie di Fourier.
Significato della serie di Fourier.
Trasformata di Fourier: definizione di trasformata ed antitrasformata; esistenza, esempi; convergenza dell'antitraformata; equazione di Parseval; trasformata della derivata, derivata della trasformata.

Equazioni differenziali

Generalità, esempi.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine, soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine omogenee e non omogenee, esempi.
Equazioni del primo ordine a variabili separabili; esempi.
Esercizi sulle equazioni differenziali del primo ordine
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: soluzione generale attraverso le soluzioni particolari.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee; esempi.
Equazioni differenziali lineari e condizioni al contorno, condizioni di quantizzazione.
Esercizi sulle equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti.

Equazioni differenziali della meccanica quantistica

Serie di funzioni, convergenza puntuale e uniforme.
Serie di potenze: cerchio di convergenza, calcolo del raggio di convergenza; esempi.
Soluzione di un'equazione differenziale come serie di potenze, procedimento nella ricerca della soluzione, ricerca di una soluzione polinomiale, condizioni di quantizzazione.
Soluzione polinomiale dell'equazione di Hermite.
Soluzione polinomiale dell'equazione differenziale del momento angolare.
Soluzione polinomiale dell'equazione differenziale dell'atomo d'idrogeno.

MODULO DI MECCANICA QUANTISTICA

Crisi della fisica classica

Ripasso: equazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto, velocità delle onde elettromagnetiche, vettore di Poynting, energia e quantità di moto trasportata dall'onda.
Ripasso: onda elettromagnetica piana monocromatica, ampiezza dell'onda, pulsazione, vettore d'onda, frequenza, lunghezza d'onda, direzione di propagazione, energia dell'onda; onda piana monocromatica in forma esponenziale.
Ripasso: cariche in moto accellerato come sorgenti delle onde elettromagnetiche; dipolo oscillante; formula di Larmor; forza di Lorentz.
Corpo nero: spettro di corpo nero, problemi della trattazione classica, trattazione di Planck del corpo nero ([2] 49-1, 49-2, 49-3).
Effetto fotoelettrico: esperimento di Mllikan, problemi della trattazione classica, trattazione di Einstein dell'effetto fotoelettrico ([2] 49-5, 49-6).
Ripasso: interferenza delle onde elettromagnetiche.
L'ipotesi di de Broglie ([2] 50-2).
Esperimento di Davisson-Germer ([2] 50-3).

Dall’elettromagnetismo all'equazione di Schrödinger

Le particelle della radiazione elettromagnetica: i fotoni.
Funzione d'onda di materia per un fascio di particelle.
Funzione d'onda di materia di particella singola.
Proprietà della funzione d'onda di materia.
Onda piana elettromagnetica come funzione d’onda di fotoni liberi.
Onda piana di materia e equazione di Schrödinger di particella libera.
Equazione di Schrödinger per particelle interagenti.

Operatori della meccanica quantistica

Esempi di operatori.
Valor medio e deviazione standard delle quantità fisiche.
Autofunzioni e autovalori degli opertori di quantità fisiche.
Commutazione di due operatori, commutatore dell'operatore quantità di moto e l'operatore posizione.
Determinazione simultanea di quantità fisiche e commutazione
Principio di indeterminazione di Heisenberg; relazione d’indeterminazione posizione - quantità di moto, indeterminazione della traiettoria delle particelle quantistiche.

Equazione di Schrödinger stazionaria.

Problemi unidimensionali di meccanica quantistica

Particella nella buca di potenziale infinita: risoluzione dell'equazione di Schrödinger stazionaria; funzioni d'onda e livelli energetici.
Effetto tunnel: risoluzione dell'equazione di Schrödinger stazionaria; funzioni d'onda e coefficiente di trasmissione per barriere alte e/o spesse; descrizione del microscopio a scansione a effetto tunnel ([2] 50-8).
Oscillatore armonico: oscillatore armonico classico; dall'equazione di Schrödinger stazionaria all'equazione di Hermite; funzione d'onda e livelli energetici; confronto con il caso classico e con la buca di potenziale.

Atomo d'idrogeno

Spettro dell’atomo d’idrogeno ([2] 51-1).
L’atomo d’idrogeno nella trattazione di Ruhterford e di Bohr.
Il potenziale di Coulomb, coordinate polari.
Il momento angolare, l'operatore p^2 in coordinate polari e l'operatore L^2.
Relazioni di commutazione di H, L^2, L_z.
Fattorizzazione delle autofunzioni di H, L^2, L_z.
Soluzione dell'equazione agli autovalori di L_z; quantizzazione di L_z.
Dall'equazione agli autovalori di L^2 all'equazione di Legendre; quantizzazione di L^2.
Dall'equazione radiale all'equazione associata di Laguerre; quantizzazione dell'energia E; funzione d'onda radiale e livelli energetici. Numeri quantici dell'atomo d'idrogeno.

Momento magnetico e spin dell'elettrone

Momento magnetico dell'atomo di idrogeno.
L'esperimento di Stern e Gerlach ([2] 51-4).
Lo spin dell'elettrone.

MATHEMATICAL METHODS

Complex numbers

Definition, cartesian and polar representations, Eulero formula; complex coniugate.
Operations with complex numbers; properties of complex numbers.
Exercises with complex numbers.

Vector spaces on C

Definition, linear dependence, basis, examples.
Linear operators, matrix associated to a linear operator, examples; eigenvalues and eigenvectors of an operator, diagonalisation of matrices, secolar equation, degenerate and non-degenerate eigenvalues, examples.
Basis of eigenvectors, commutator of two operators, common basis of eigenvectors of two operators.

Unitary vector spaces on C

Definition, scalar product, normalisation, orthogonality.
Orthonormal (ON) basis, scalar product and norm in an ON basis, building ON basis, examples; components of a vector in an ON basis.
Operators in an unitary space, adjoint operator, hermitian operators, examples; eigenvalues and eigenvectors of a hermitian operator.
Exercises on eigenvalues and eigenvectors.

The functional space L^2(a,b)

Definition, L^2(a,b) as an unitary vector space, scalar product in L^2(a,b); examples.
Linear operators in L^2(a,b), multiplicative and differential operators, eigenvalues and eigenvectors, adjoint operator; hermitian operators; commutation in L^2(a,b).
L^2(a,b) with boundary conditions; example: building the ON basis of eigenfunctions of Q=- i*a*d/dx, quantisation condition on a; Fourier series.

Fourier analysis

Fourier series: definition, properties, convergence, example.
Trigonometric Fourier series, example; Trigonometric series of even and odd functions.
Exercises on Fourier series.
Meaning of Fourier series.
Fourier transform: definition of Fourier transform and inverse Fourier transform; existence, examples; convergence of the inverse Fourier transform; Parseval equation; Fourier trasform of the derivative of a function, derivative of the Fourier trasform.

Differenzial equations

Generalities, examples.
Linear differential equations of first order, general solution of homogeneous and non-homogeneous linear differential equations of first order, examples.
Separable equations of first order, examples.
Exercises on differential equations of first order.
Differential equations of second order: general solution through particular solutions.
Homogeneous and non-homogeneous linear differential equations of second order with constant coefficients; examples.
Linear differential equations and boundary conditions, quantisation conditions.
Exercises on linear differential equations of second order with constant coefficients.

Differential equations on quantum mechanics

Series of functions, point and uniform convergence.
Power series: convergence radius, computation of convergence radius; examples.
Solution of a differential equation as a power series, polynomial solution, quantisation conditions.
Polynomial solution of Hermite equation.
Polynomial solution of the differential equation for the angular momentum.
Polynomial solution of the differential equation for the hydrogen atom.

QUANTUM MECHANICS

The crisis of classical physics

Electromagnetic waves equation, velocity of electromagnetic waves, Poynting vector, energy and momentum carried by a wave.
Monochromatic electromagnetic plane wave, amplitude, wave vector, frequency, wavelength, direction of propagation, energy; monochromatic electromagnetic plane wave in exponential form.
Accelerated charges as sources of electromagnetic waves; oscillating dipole; Larmor formula; Lorentz force.
Black body: spectrum, problems of the classical approach, Planck approach ([2] 49-1, 49-2, 49-3).
Photoelectric effect: Mllikan experiment, problems of the classical approach, Einstein approach ([2] 49-5, 49-6).
Interference of electromagnetic waves.
De Broglie hypothesis ([2] 50-2).
Davisson-Germer experiment ([2] 50-3).

From electromagnetism to Schrödinger equation

Particles of electromagnetic radiation: the photons.
Matter wave function for a particle beam.
Matter wave function for a single particle.
Properties of matter wave function.
Plane electromagnetic wave as wave function of free photons.
Matter plane wave and Schrödinger equation for a free particle.
Schrödinger equation for interacting particles.

Operators in quantum mechanics

Examples of operators.
Mean value and standard deviation of physical quantities.
Eigenfunctions and eigenvalues of operators of physical quantities.
Commutation of two operators, commutator of momentum operator with position operator.
Simultaneous determination of physical quantities and commutation.
Heisenberg uncertainty principle; uncertainty relation position-momentum, uncertainty of the trajectory of quantum particles.

The stationary Schrödinger equation

Unidimensional problems in quantum mechanics

Infinite potential well: solution of stationary Schrödinger equation; wave functions and energy levels.
Tunnel effect: solution of stationary Schrödinger equation; wave functions and transmission coefficient for high/large barriers; description of the scanning tunneling microscope ([2] 50-8).
Harmonic oscillator: classical harmonic oscillator; from the stationary Schrödinger equation to Hermite equation; wave functions and energy levels; comparison with the classical approach and with the infinite potential well.

Hydrogen atom

The atomic spectrum of hydrogen ([2] 51-1).
The hydrogen atom in Ruhterford approach and in Bohr approach.
The Coulomb potential and polar coordinate system.
Angular momentum, p^2 operator in polar coordinates and L^2 operator.
Commutation relations for H, L^2, L_z.
Factorisation of the eigenfunctions of H, L^2, L_z.
Solution of the eigenvalue equation for L_z; quantisation of L_z.
From the eigenvalue equation for L^2 to Legendre equation; quantisation of L^2.
From the eigenvalue equation for H to associated Laguerre equation; quantisation of energy E; radial wave functions and energy levels; quantum numbers of the hydrogen atom.

Electron magnetic moment and spin

Magnetic moment of the hydrogen atom.
Stern-Gerlach experiment ([2] 51-4).
The spin of the electron.

Descrizione

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

Italiano
English

[1] Dispense fornite dai docenti.
[2] Halliday-Resnick-Krane, Fisica 2, Casa Editrice Ambrosiana, 2002.

- J. Bak, D. J. Newman "Complex analysis", Springer-Verlag;
- P. T. Matthews, "Introduzione alla Meccanica Quantistica", Zanichelli.
- P.W. Atkins, R. S. Friedman "Meccanica Quantistica Molecolare".
- L. Schiff, "Meccanica Quantistica", Edizioni Scientifiche Einaudi.

[1] Lecture notes.
[2] Halliday-Resnick-Krane, Fisica 2, Casa Editrice Ambrosiana, 2002.

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